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Equations différentielles ordinaires / Mama Gheziel
Titre : Equations différentielles ordinaires Type de document : texte imprimé Auteurs : Mama Gheziel, Auteur ; Amina Bendahma, Auteur Année de publication : 2013 Importance : 107p. Présentation : ill. Format : 30cm. Langues : Français (fre) Mots-clés : différentielles ordinaires Résumé : On peut diviser le monde des équations di¤érentielles (EDO) en deux:
le monde familier, qui correspond en gros aux équations linéaires, et le monde étrange.
Le monde familier:
La plus simple:
x0 = ax:
Plus généralement,
x0 = a(t)x + b(t);
ou bien
x0 = Ax
en dimension supérieure. La caractéristique principale : on exprime les solutions avec des
formules.
Le monde étrange:
Exemple 0.1 loi de la dynamique et loi de la graviation(Newton).ceci permet de modéliser le
système solaire par une EDO.Cette EDO est non linéaire: on peut résoudre le problème des deux
corps (ce qu.a fait Newton), mais pas au-delà . Exemples de solutions complexes (animation).
Hors de portée de ce cours...
requins et sardines (Volterra 1920). En l.absence d.interractions
X0 = ax
et
y0 = ..by;
le nombre de rencontres est proportionnelle à xy; on obtient
x0 = ax .. cxy
y0 = ..by + dxy
On ne peut pas résoudre, mais on sait néanmoins décrire le comportement qualitatif des
8
solutions. Et déjà , dire qu.elles éxistent!
Exemple 0.2 Petites oscillations du pendule. On ne sait pas résoudre l.équation
y00 = sin(y)
.on peut linéariser, et éspérer que l.équation linéarisée décrit le comportement des petites
oscillations, mais comment le justi.er?
La forme la plus générale d.une équation di¤érentielle ordinaire (en abrégé EDO) est
F(t; u; u0; :::; u(k)) = 0:
où u est une fonction inconnue de la variable réelle t à valeurs dans Rn ou plus généralement
dans un espace de Banach X; u0; :::; u(k) désignent les dérrivées successives de u, et F est une
fonction donnée, supposée <>(on précisera comment par la suite) sur I U U1
::: Uk où I est un intèrvalle ouvert de R,U;U1; :::;Uk sont des ouverts connexes de X.On
ne s.intéressera dans ce cours qu.à des équations di¤érentielles résolues, pour lesquelles il éxiste
une fonction G, régulière sur I U U1 ::: Uk..1 telle que
F(t; u; u0; :::; u(k)) = 0 , u(k) = G(t; u; u0; :::; u(k..1)):
On observe de plus que
u(k) = G(t; u; u0; :::; u(k..1)) , U0 = G(t;U);
9Equations différentielles ordinaires [texte imprimé] / Mama Gheziel, Auteur ; Amina Bendahma, Auteur . - 2013 . - 107p. : ill. ; 30cm.
Langues : Français (fre)
Mots-clés : différentielles ordinaires Résumé : On peut diviser le monde des équations di¤érentielles (EDO) en deux:
le monde familier, qui correspond en gros aux équations linéaires, et le monde étrange.
Le monde familier:
La plus simple:
x0 = ax:
Plus généralement,
x0 = a(t)x + b(t);
ou bien
x0 = Ax
en dimension supérieure. La caractéristique principale : on exprime les solutions avec des
formules.
Le monde étrange:
Exemple 0.1 loi de la dynamique et loi de la graviation(Newton).ceci permet de modéliser le
système solaire par une EDO.Cette EDO est non linéaire: on peut résoudre le problème des deux
corps (ce qu.a fait Newton), mais pas au-delà . Exemples de solutions complexes (animation).
Hors de portée de ce cours...
requins et sardines (Volterra 1920). En l.absence d.interractions
X0 = ax
et
y0 = ..by;
le nombre de rencontres est proportionnelle à xy; on obtient
x0 = ax .. cxy
y0 = ..by + dxy
On ne peut pas résoudre, mais on sait néanmoins décrire le comportement qualitatif des
8
solutions. Et déjà , dire qu.elles éxistent!
Exemple 0.2 Petites oscillations du pendule. On ne sait pas résoudre l.équation
y00 = sin(y)
.on peut linéariser, et éspérer que l.équation linéarisée décrit le comportement des petites
oscillations, mais comment le justi.er?
La forme la plus générale d.une équation di¤érentielle ordinaire (en abrégé EDO) est
F(t; u; u0; :::; u(k)) = 0:
où u est une fonction inconnue de la variable réelle t à valeurs dans Rn ou plus généralement
dans un espace de Banach X; u0; :::; u(k) désignent les dérrivées successives de u, et F est une
fonction donnée, supposée <>(on précisera comment par la suite) sur I U U1
::: Uk où I est un intèrvalle ouvert de R,U;U1; :::;Uk sont des ouverts connexes de X.On
ne s.intéressera dans ce cours qu.à des équations di¤érentielles résolues, pour lesquelles il éxiste
une fonction G, régulière sur I U U1 ::: Uk..1 telle que
F(t; u; u0; :::; u(k)) = 0 , u(k) = G(t; u; u0; :::; u(k..1)):
On observe de plus que
u(k) = G(t; u; u0; :::; u(k..1)) , U0 = G(t;U);
9Exemplaires (1)
Code-barres Cote Support Localisation Section Disponibilité bfst7967 L/515.3-05/01 thèse Salle d'accès libre 515.3 Calcul differentiel et equations differentielles Exclu du prêt